Extrema von Funktionen mehrerer Variabler, stationäre Punkte. Während Funktionen der Form `y=f(x)` meistens einfach in ein Koordinatensystem skizziert werden können, wird das bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen schon schwieriger. Z. Beispiel 2: Flying Mantas Bei den folgenden Funktionen ist p ein Parameter (also eine dritte Variable). m , ,( )x y p = x3 + − y3 p ( )x y + 5 p Hier ist nicht so ohne Weiteres zu erkennen, wo lokale Extrema liegen (und ob es solche überhaupt gibt). Extrema von Funktionen mit 2 Variablen (Facharbeit Jg. Dreidimensionale Funktionen können mit einem Trick jedoch auch in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt werden. Im eindimensionalen Fall, also bei f: R! –2 0 2 4 x –4 –2 0 2 4 y 0 2 4 Fig.1 Wir wollen uns diesen Satz plausibel machen und betrachten hierzu alle Kurven, die sich als Schnitt der Fl¨ache mit Ebenen ergeben, die senkrecht zur xy-Ebene durch die Stelle (x0,y0) verlaufen. R, war ja die entsprechende Bedingung die, dass f0(x0) = 0 . Wenn ein Extremum vorliegt, so gilt dies sicherlich auch fur die Schnittkurven in¨ x- und y-Richtung, d.h. die 12) im Mathe-Forum für Schüler und Studenten Antworten nach dem Prinzip Hilfe zur Selbsthilfe Jetzt Deine Frage im Forum stellen! Wir bilden die partiellen Ableitungen: mx( )x y p, , = 3 x − 2 … Dafür bedient man sich sogenannter B. Temperatur … Für Funktionen in zwei Variablen erhalten wir folgende Bedi ngung: Sei x0 ein stationärer Punkt von f, und M 1 und M 2 die Hauptminoren von H f(x0). Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen Fakult at Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 2. mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (difierenzierbaren) Funktionen f: Rn! R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen ub˜ erhaupt ein Extremum auftreten kann. In diesem Abschnitt werden ¨ahnlic he Aussagen im Fall skalarwertiger Funktionen mehrerer Variabler hergeleitet. Zurück: Gradient und Funktionsverlauf Aufwärts: Kurseinheit 12: Funktionen Weiter: Höhere Ableitungen Extrema von Funktionen mehrerer Variabler, stationäre Punkte Ist eine (skalarwertige) Funktion von Variablen, d.h. so ist die Frage nach ihrem Extremum, d.h. Sei f: Rn! Satz. Funktionsbegri Di erenzialrechnung Anwendungen Beispiele Darstellung Schnitte Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen h angen h au g von mehreren Variablen ab. Maximum bzw. Definition 11.2 (Strikte) Lokale Minima und Maxima.