„ \(A \Rightarrow B\) “. Eine hinreichende Bedingung führt zwangsläufig dazu, dass das Ereignis eintritt, aber es könnte auch auf anderem Wege dazu kommen. Beispielsweise wird man nass, wenn man sich in den Regen stellt, man könnte aber auch Duschen, schwimmen gehen usw. Bei Wendepunkten: f '' (x) = 0. ↑Notwendige und hinreichende Bedingungen 1. Du musst dann nicht weiter prüfen. Ableitung = 0 sein muss. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, das die 2. Wir brauchen daher auch die dritte Ableitung namens f´´´(x)= 6. 0 ist, ist die Bedingung erfüllt. Damit ist die Bedingung erfüllt, dass das Ergebnis einer Ableitung größer null ist, und somit ein Tiefpunkt vorliegt. Das ist jedoch nicht der Fall! Das ist gleichzeitig notwendige Bedingung für einen Extrempunkt bei der 1. Vergiss nicht, dass f'(x) = 0 auch erfüllt ist. Diese Bedingung reicht aber nicht aus, um zweifelsfrei zu sagen, das es sich um einen Wendepunkt handelt. Aus einer notwendigen Bedin-gung für eine Extremstelle muss jedoch nicht zwangsläufig eine Extremstelle folgern. Denn es kann genausogut ein Sattelpunkt oder Extremwert sein. Da 6 ? Da die Bedingung f``(x) $ \neq $ 0 nicht erfüllt ist, bezeichnet man den Tiefpunkt auch als Sattelpunkt, da f``(x)=0 ist. Mathematiker nennen Bedingungen, die auf jeden Fall erfüllt sein müssen, "notwendige Bedingung". Mir ist leider nicht bekannt, wie ihr dann fortfahrt das zu untersuchen. 4. Extrema: Eine notwendige Bedingung f¨ur die Existenz eines Extremums 1 an der Stelle x 0 f¨ur eine auf Rdefinierte Funktion ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d.h. also f′(x 0) = 0. f′(x 0) = 0 ist nicht hinreichend f¨ur die Existenz eines Extremums, es k¨onnte auch ein Sattelpunkt vorliegen. Kann man jedoch sicher auf eine Extremstel-le schließen, so redet man von "hinreichen-der Bedingung". Ableitung. Nun ist es aber so, dass nach der hinreichenden Bedingung f''(0) = 0 und f'''(0) ≠ 0 gelten muss. wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist kann es kein Wendepunkt sein. Hinreichend bedeutet: Wenn diese Bedingung erfüllt ist, ist es auf jeden Fall ein Wendepunkt. Du hast also die notwendige Bedingung für ein Extremum ebenfalls erfüllt. Wenn nicht, könnte es trotzdem einer sein. Es handelt sich also um einen Wendepunkt. Neben der notwendigen Bedingung gibt es auch eine hinreichende Bedingung, die da lautet: f´´´(x)?0. Die hinreichende Bedingung ist also, das f'''(x) ungleich 0 ist, nämlich größer oder kleiner. Formal kann man das so ausdrücken: „wenn A, dann B “ bzw. Wendepunkten: cc Aufgabe 2 Wir bestimmen die Wendestellen der Funktion f x =3x5 − 5x4 f ' x =5x3 3x− 4 f '' x =60x2 x − 1 f ''' x =60x 3x − 2 Notwendige Bedingung f '' x W = 0 xW 1 = 0, xW 2 = 1 Hinreichende Bedingung ist für f ''' x x = 0 nicht erfüllt. W ≠ 0